|
|||||||
|
|
|
|||||
|
|
|||||||
|
|||||||
|
|
|
|||||
|
|
|||||||
 |
|
 |
| تعريف عن نفسي | مساعدة التصفح | العودة للصفحة الرئيسية | الصف الثاني ثانوي | الصف الاول ثانوي |
أولا نتعرف على نظرية رول ثم اسئلة على نظرية القيمة المتوسطة
نظرية رول / تقول اذا كانت (1) د متصلة على الفترة [ أ ، ب ] ، ( 2) د قابة للاشتقاق على الفترة [ أ ، ب ]
(3) د( أ ) = د( ب ) فـإن هنالك على الاقل نقطة واحدة جـ تنتمي لـ ( أ ، ب ) تحقق دَ(جـ) = صفراً
مثال بين لماذا لا تتحقق شروط نظرية رول لكل من الدوال التالية :
د(س)= | س | في [ -2 ، 2 ] ثم الدالة د(س) = س2 + س + 5 في [ 0 ، 2 ]
الجواب / نعرف الدالة د(س) = | س | = اما س عند س >= صفر أو - س عند س < صفر
المشتقة دَ( 0 - ) = -1 و دَ( 0 + ) = 1 اذن الدالة غير قابة للاشتقاق عند س = صفر
الشرط الثاني غير متحقق و هو ان د غير قابلة للاشتقاق في ( -2 ، 2 ) انتهى
اما الدالة د(س) = س2 + س + 5 في الفترة [ 0 ، 2 ] فان د(0)= 5 كذلك د(2)= 11 اي ان د(0) لاتساوي د(2)
اي ان اشرط الثالث غير متحقق لنظرية رول انتهى .
مثال / اذا كانت الدالة د(س)= س3 - 6س2 + 9س + 12 ابحث امكانية تطبيق نظرية رول في الفترة[0 ، 3] ثم اوجد قيمة جـ التي تحقق النظرية لهذه الدالة ان امكن .
الجواب / الدالة متصلة في الفترة ثم ان الدالة قابلة للاشتقاق في (0 ، 3) لانها كثيرة حدود في ح
د(0)= 12 و د(3) = 12 اذن د(0) = د(3) اي ان الشروط الثلاثة متحققة بقي ان نوجد قيمة جـ
دَ(س)= 3س2 - 12س + 9 ثم نعوض عن س بـ جـ نجد ان دَ(جـ)= 3جـ2 - 12جـ + 9 = 0
اذن جـ2 - 4جـ + 3 = 0 
(جـ - 3)(جـ - 1) = 0 جـ
= 3 أو جـ = 1
و بما ان 3 لا تنتمي للفترة ( 3 ، 0) فهي مستبعدة و بالتالي جـ = 1 تنتمي للفترة ( 0 ، 3 ) و هو المطلوب انتهى .
الان نتعرف على نظرية القيمة المتوسطة / اذا كانت د متصلة على [ أ ، ب ] و قابلة للاشتقاق على ( أ ، ب) فان هنالك
نقطة واحدة على الاقل جـ تنتمي لـ ( أ ، ب) تحقق دَ0جـ)=[ د(ب)- د(أ)] / ( ب - أ )
و هنا بعض الامثلة على نظرية القيمة المتوسطة /
السؤال الاول / حقق نظرية القيمة المتوسطة للدالة د(س)= س2 + 2س + 1 في الفترة [ 0 ، 3 ]
الجواب / د(س) متصلة في [ 0 ، 3 ] و قابلة للاشتقاق في ( 0 ، 3 ) لأنها كثير حدود
دَ(س) = 2س + 2 دَ(جـ)
= 2جـ + 2 د(0) = 1 د(3) = 9 + 6 + 1 = 16
دَ(جـ) = [د(3) - د(0) ] / ( 3 - 0 ) و
يكون 2جـ + 2 =( 16 - 1) / 3 جـ=
2/3 ينتمي لـ ( 0 ، 3 )
السؤال الثاني/ اوجد قيمة جـ التي تحقق نظرية القيمة المتوسطة للدالة
د(س)= س2 - س - 2 في [ 0 ، 3 ]
الجواب / نلاحظ ان الدالة متصلة في [ 0 ، 3 ] و قابلة للاشتقاق في ( 0 ، 3 ) لأنها كثيرة حدود
د(0)=-2 كذلك د(3)=9-3-2 = 4 ثم نوجد المشتقة الاولى نجد ان
دَ(س)= 2س - 1 أي ان دَ(جـ)= 2جـ - 1 ثم نوجد دَ(جـ)=[د(3)-د(0)]/(3-0)=2
2جـ - 1 = 2 جـ
= 2/3 ينتمي لـ ( 0 ، 3 ) و هو المطلوب
السؤال الثالث / اوجد باستخدام نظرية القيمة المتوسطة معادلة المماس لمنحنى الدالة د(س)=س2-3س+4 و الذي يوازي الوتر المار في النقطتين ( 0 ، 4 ) و ( 1 ، 2 )
الجواب / الدالة متصلة في الفترة [ 0 ، 1 ] و قابلة للاشتقاق في ( 0 ، 1 ) لأنها كثيرة حدود و بالتالي د(0) = 4 ثم د(1)=2
أما دَ(س) = 2س - 3 دَ(جـ)
= 2جـ - 3
أي أن د(جـ) = [ د(1)- د(0)] / (1 - 0 )
= -2 اذن 2جـ - 3 = -2 جـ
= 0.5
نقطة التماس هي ( جـ ، د(جـ) ) = ( 0.5 ، د(0.5) ) = ( 0.5 ، 4/11) و ميله = -2
اذن المعادلة المطلوبة هي
ص - (4/11) = -2 ( س - 0.5 ) 4ص+8س-15=0
السؤال الرابع / اوجد قيمة جـ التي تحقق نظرة القيمة المتوسطة للدالة
د(س)=2- 0.5س في [ 0.5 ، 1 ]
الجواب د(س) متصلة في [نصف،1] وقابلة للاشتقاق في (نصف،1)لأن صفر ينتمي لـ [نصف،1]
د(0.5)=2-2=صفر ، د(1)=2-1=1 ، دَ(س)=1/[س2] ، دَ(جـ)= 1 / [ جـ2]
دَ(جـ) = [ د(1) - د(0.5)
] / [1 - 0.5] = 2 1/جـ2
= 2 جـ= +- جذر2 على2
و بما نا - جذر2 على 2 لا ينتمي لـ( 0.5 ، 1 ) فهي مرفوضة اذن جـ=+جذر2على2 الذي ينتمي لـ( 0.5 ، 1 )
| تعريف عن نفسي | مساعدة التصفح | العودة للصفحة الرئيسية | الصف الثاني ثانوي | الصف الاول ثانوي |
