درس العمليات الثنائية

اهلا بكم في موقع محمد المرغلاني

-----------------------

الموضوع / درس العمليات الثنائية

الصف / الثاني ثانوي

الفصل الاول

تعريف العملية الثنائية : أي تطبيق مجاله الجداء الديكارتي س × س و مجاله المقابل س يسمى عملية ثنائية

نرمز للعملية الثنائية بأحد الاشكال الهندسية مثل + - / * او مثلث أو اتحاد او تقاطع او فاي أو دائرة أو مربع … الخ

و بصورة عامة لكل ( س,ص) ينتمي ك×ك مقابل ج، هو ( س * ص ) ينتمي الى ك

+ : ك×ك ---> ك يكافيء ( س ، ص ) ---> س + ص

تعريف النظام المغلق / يسمى الزوج المرتب ( س ، * ) نظام مغلق اذا كانت س غير خالية و كانت * تطبيق مجاله س×س

مثال / اذا كانت س * ص = (س+ص)^² عملية معرفة على ص فهل هذه العملية ثنائية و لماذا ؟

الجواب ( ص ، * ) نظام مغلق لأن ( س + ص )^² ينتمي الى ص

مثال /اذا كانت * عملية ثنائية معرفة كما يلي س * ص = س2 + ص2 - ص فـأوجـد 4*5 كذلك 5*4 كذلك س * 3 = 22

الجواب : 4* 5 = ^²4 + ^²5 - 5 = 16 + 25 - 5 = 36

5 * 4 = ^²5 + ^²4 - 4 = 25 + 16 - 4 = 37

س * 3 = 22 ---> س^² + ^²3 - 3 = س^² + 9 - 3 = 22 ---> س² + 6 = 22 ---> س² = 16 ---> س=+-4

ملاحظة يكون النظام ( ح ، * ) مغلقاً اذا كانت نواتج العملية الثنائية * تنتمي للمجموعة ح

الجدواول و العملية الثنائية / يلتبسيط و تسهيل العمليات الثنائية على المجموعات يمكن تمثيل العملية الثنائية بجدول كما في الشكل الجانبي شكل ج1

مثال / لدينا المجموعة { 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 } عرفنا عليها العملية الثنائية * على النحو التالي أ + ب = باقي قسمة أ + ب على 5

من المعتاد ان نرمز لهذه المجموعة بالرمز ص_₅ و المطلوب تمثيل هذه العملية في جدول ---- > الجواب شكل ج2

مثال اذا كانت س * ص = س² + س ص فــأوجـد 2 * 4 كذلك 3 * 5 * 7

الحل / 2 * 4 = ²2 + 2×4 = 4 + 8 = 12 كــذلك 3 * 5 * 7 = ( 3 * 5 ) * 7= ( ²3 + 5 ) * 7 = (9+5) * 7

14 * 7 = ²14 * 7 = 196 + 7 = 203

خواص العمليات الثنائية / نقول ان العملية الثنائية * على المجموعة س :

1- ابدالية اذا كان أ * ب = ب * أ لكل أ ، ب ينتمي الى س 2- تجميعية اذا كان ( أ * ب ) * جـ = أ * ( ب * جـ )

3- وجود عنصر محايد اذا كان أ * م = م * أ لكل أ ، ب ينتمي الى س 4- وجود نظير اذا كان أ * ب = ب * أ = العنصر المحايد

مثال / اذا اعتبرنا ص5 = { 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 } و عرفنا العملية الثنائية * على ص₅ على النحو التالي:

أ * ب = باقي قسمة أ + ب على 5 فــأوجـد العنصر المحايد لهذه العملية و نظير كل عنصر

الجواب /

تعريف عن نفسي

شكل ج1

شكل ج2

مثال اوجد حلول المعادلات التالية في النظام ( ص₈ ، * ) ان وجدت : س*3=3 كذلك 2 * س = 4